移動硬幣的數學思考遊戲～思考歷程書寫

文：蔡幸珍 2013.6.16

    這個數學思考遊戲是在2013年5月17日的晚上還是5月18日的晚上玩的，我已經記得不太清楚了。那是在一堂兒童哲學課的課堂中，授課的老師是楊茂秀教授。

    楊老師在白板畫上三個垂直線，分別標示A、B、C，然後，在A的地方，他畫上幾個大小不同的圓圈（代表硬幣），按照圓圈的大小排列，大的圓圈在最下面，小的圓圈在最上面。楊老師說明這個遊戲的遊戲規則就是要將一疊疊在A處的硬幣，移到C處，每次只能移動一個硬幣，移動的過程中，硬幣要永遠保持小的硬幣疊在大的硬幣之上。楊老師說3個人一組，玩玩1元、5元、10元和50元4個硬幣，從A處移到C處，最少總共需移動幾次硬幣？

    教室裡，很快地就自動地分好組了，每次的分組，小組的成員幾乎是一模一樣的，大家都已經習慣按照座位來分組了，而幾個月上課下來，同學們已經很有默契地有了自己固定的座位了。我和同學甲君、同學乙君分配到同一組。

    我們三個人先各自拿出一個1元硬幣、一個5元硬幣、一個10元硬幣和一個50元硬幣，一旁也準備了紙和筆，打算隨時做記錄用的。甲君、乙君和我都開始動手移動起硬幣來了。我們是偶爾移動硬幣、偶爾談論，我也一邊動動腦、寫寫方程式。

    聽到楊老師說的這個遊戲，我馬上聯想到大學時修過的AI課程中曾經學過recursive的觀念。我馬上套入這個觀念，進而產生「如果要從A移動N個硬幣到C處，那麼，就必須先將上面的N-1個硬幣移動到B處，然後，將第N個硬幣移動到C處，再把N-1個硬幣從B處移到C處。」於是我在白紙上寫下以下的方程式。

    f(n)=2*f(n-1) ＋ 1

    f(n)這個函數代表的是要在ㄧ次只能移動一個硬幣以及在任意的時間點上，大的硬幣不得疊在小的硬幣之上這二個條件下，從A處移動N個硬幣到C處時，所需要的最少移動硬幣的次數。

     有了這個方程式，不代表已經知道答案了。因為我雖然知道f(100)=2＊f(99)  +1，可是我還是不知道f（99）是多少？不過，我可以來了解f(1)是多少。

    很明顯的。f(1)就是一次。將一枚硬幣從A處移到C處，只需要移動一次。知道f(1)=1，就能知道f(2)、f(3)、f(4)…等。

    f(2)=2*f(1)+1=3

    f(3)=2*f(2)+1=7

    f(4)=2*f(3)+1=15

    f(5)=2*f(4)+1=31
    f(6)=2*f(5)+1=63

   可是這樣還是不夠理想，學資訊工程的我，可以趕緊去寫個程式，藉由電腦的運算，然後我就馬上可以知道f(100)的答案，就連f(100000)、f(10000000000)的答案，電腦都可以馬上告訴我，但是現在我在兒童哲學的課堂上，手邊並沒有電腦。只有紙和筆，我可以推出 f(n)到底是個怎麼樣的函數嗎？我繼續在白紙上寫下

    f(7)=2*f(6)+1=127

    f(8)=2*f(7)+1=255

    f(9)=2*f(8)+1=511

    f(10)=2*f(9)+1=1023

    有了f(n)=2*f(n-1) ＋ 1這個發現，我很開心，然而對於進一步的f(n)代表什麼樣的方程式，一時之間，我還是沒發現答案，於是帶著開心以及求問的二種情緒，和甲君以及乙君分享我的新發現。甲君和乙君都能理解也認同我所發現的。於是，甲君和乙君也試著手去推推看，想想看，到底f(n)代表什麼樣的方程式。於是，他們的紙上也寫上了

    f(2)=2*f(1)+1=3

    f(3)=2*f(2)+1=7

    f(4)=2*f(3)+1=15

    f(5)=2*f(4)+1=31
    f(6)=2*f(5)+1=63

    他們不僅僅寫，用數學推演的方式，他們一邊也實際動手去移動硬幣去驗證結果。我則是埋首繼續用想的、用觀察的、用猜的，想辦法要去破解f(n)代表什麼樣的方程式。我觀察到這似乎是和2的倍數有關的方程式，因為每多一個硬幣，就是要多2倍的移動次數。於是我想會不會是f(N)=2^N呢？

   如果f(N)=2^N，那麼f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，f(4)=16，f(5)=32，f(6)=64，這個數列和先前的數列f(1)=1，f(2)=3，f(3)=7，f(4)=15，f(5)=31，f(6)=63，一相比較，我就得出，應該要減一的答案，也就是說正確的答案應該是f(N)=2^N-1

，所以f(100)=2¹⁰⁰-1。

    當我正在用紙筆和猜測去推敲出f(N)=2^N-1的結果的同時，我的伙伴甲君和乙君也從實際的移動硬幣的犯錯中找到最少移動硬幣次數的規則了。他們發現當要移動的那疊硬幣的數目是偶數時，應該怎麼移動，當要移動的那疊硬幣的數目是奇數時，應該怎麼移動，雖然我很好奇地問他們，雖然他們很熱心的告訴我，但是一時之間，我還是記不住規則。我想，這是因為有一部分的我根本不想要聽、不想要記住，為什麼呢？一方面是好勝心作祟，另一方面是想要嚐到自己找出移動硬幣規則的成就感。因為我已經從紙筆運算找到公式了，獲得一部分的成功了，接下來，我就是實地地去移動硬幣，想要了解到底實地上硬幣要怎麼移動才會是最少的次數。

    我採用的是直覺法和觀察法。其實，我移動硬幣的過程中，沒仔細管B和C，因為我認為將N枚硬幣從A處移到C處所需的最少次數應該跟將N枚硬幣從A處移到B處所需的最少次數是相同的，所以沒特別管B處與C處的差別。遊戲中另一個是我需要關照的就是大的硬幣不能放到小的硬幣之上，所以，我想是不是能每一次移動硬幣前，用觀察法找出硬幣應該移到哪個位置才對。直到楊老師喊卡，我還沒找到硬幣應該怎麼移動才會是最少移動次數的規則。

    每個小組在進行這項數學遊戲思考實驗時，楊老師到各組觀察一番。楊老師要我們這一組報告我們的歷程，也建議我們將歷程寫下來。我自己心裡面覺得這歷程好像沒什麼偉大之處值得一寫也就不以為意。乙君非常認真，也很聽老師的話，很快地就寫成一篇文章。

    當楊老師在6月15日的課堂上說我們的報告寫的不夠好時，我告知乙君楊老師要我們寫的是犯錯的歷程，因為這個數學遊戲其實已經是個被解決的問題，所以重點其實不是結果，而是整個思考的歷程以及其中的體會。期末了，報告很多，到底要不要再改寫楊老師所要求的這一篇文章呢？我思考着。

    6月16日的早上，我發信給同學甲君和乙君，我提議我們每個人各寫一篇，然後，最後整合成一篇，總共交出4篇文章給楊老師。為什麼要交4篇而不是1篇呢？其實，我想玩個記憶遊戲，書寫遊戲。一個多月前發生過的事，由3個不同的人來寫這件事，會不會有出入呢？大家對整個流程的先後的描述，對細節的描述是不是不一樣呢？還有雖然是3個人一組，但是在整個過程中，我們時而有所討論，時而是自行思考的，所以從3個的口中來描述這件事，一定有一些很有趣的差異。3個人寫出來的文章像不像是一個羅生門的故事呢？而為什麼要交出整合後的第4篇，一來是因應投稿的需要，二來也是想了解到底整合後的文章會是怎麼樣呢？3個人的書寫內容有沒有辦法整合成一篇文章？怎麼整合？整合後是不是3個人都會滿意呢？這中間的過程也挺有趣的！

    為什麼要書寫呢？在書寫本文的過程中，我發現會因為想要讓別人了解，所以會特別去描述一些細節，可是當想要描述細節的時候，卻意外發現經過ㄧ個多月時光的流逝，很多細節都不復記憶了。為什麼會不復記憶呢？會不會是因為當時疏於觀察，所以印象不深呢？我認為多觀察，仔細觀察印象會深刻些，此外，當事件發生的當下，印象最深刻，那時侯來書寫，可能更為精準。

    書寫此文時，我也發現關於學習動機這件事，關於移動硬幣的數學思考遊戲，這是課堂上玩的遊戲，也就是說當下課之後，我也就沒有特別再花時間去把答案找出來，為什麼呢？因為這是楊老師要我們玩的遊戲，而不是我自己有興趣的遊戲。對學生而言，問題的持有人是學生還是老師呢？離開課堂，也就是離開一種氛圍，當那種氛圍不再時，學習是否能持續呢？

    總之，書寫的當下，也形成一種思考，一個往自己內心深處挖掘的行為。